Физический энциклопедический словарь - больцмана статистика

56

В Б. с. рассматривается распределение ч-ц идеального газа по импульсам и координатам, но не в фазовом пространстве всех ч-ц, как в статистич. механике Гиббса (см. Гиббса распределения), а в фазовом пр-ве координат и импульсов одной ч-цы (для газа одинаковых невзаимодействующих ч-ц ф-цию распределения можно представить в виде произведения «одночастичных» ф-ций распределения). Согласно Б. с., фазовое пр-во разбивается на множество малых ячеек объёмом Gi, причём каждая ячейка должна содержать достаточно большое число ч-ц Ni (с энергией ξi). Фиксированное распределение ч-ц по этим ячейкам определяет микроскопич. состояние газа. Макроскопич. состояние газа полностью характеризуется набором чисел Ni. Значение Gi соответствует максимально возможному числу микроскопич. состояний в ячейке i. Для подсчёта числа возможных способов осуществления данного макроскопич. состояния объём ячейки фазового пр-ва должен быть фиксирован (в этом случае совокупность микроскопич. состояний — счётное множество). До создания квант. механики ед. фазового объёма выбиралась произвольно. С открытием квантовомеханич. неопределённостей соотношения выяснилось, что ед. объёма фазового пр-ва, имеющего шесть измерений (три координаты и три проекции импульса ч-цы), нельзя выбрать меньше h³. Т.о., современная Б. с. использует принципы квант. механики, и получаемое на основе Б.с. распределение ч-ц представляет собой частный случай квант. статистик (когда из-за малой плотности газа можно пренебречь квант. эффектами).

В Б.с. предполагается, что ч-цы распределяются по разл. состояниям независимо друг от друга и что они различимы между собой. Число различных возможных микроскопич. состояний, соответствующих заданному макроскопич. состоянию газа, наз. статистическим весом состояния. Статистич. вес определяется числом разл. способов, к-рыми можно распределить N=iNi ч-ц по ячейкам размером Gi по ni ч-ц в каждой ячейке, и равен:

B=N!ПiGi^Ni/Ni!. (1)

Здесь перестановки ч-ц в пределах каждой ячейки рассматриваются как разл. состояния. При подсчёте статистич. веса  надо, однако, учитывать, что перестановки тождественных ч-ц не меняют состояния, и поэтому b следует уменьшить в N! раз, так что

=Пi(Gi^Ni/Ni!). (2)

Это правило подсчёта состояний, основанное на квантовомеханич. принципе неразличимости тождественных ч-ц, лежит в основе совр. Б. с. Только при таком определении статистич. веса возможно определить энтропию S

(в ед. k) как величину, пропорц. логарифму статистич. веса:

S~ln. (3)

Ф-ла (3) была получена амер. физиком Дж. Гиббсом ещё до создания квант. механики. Он показал, что присутствие множителя N в (1) приводит к появлению в выражении для энтропии (3) слагаемого NInN, не имеющего физ. смысла, т. к. энтропия должна быть пропорц. N (аддитивна). Все микроскопич. состояния, соответствующие данному макроскопич. состоянию, равновероятны, поэтому вероятность макроскопич. состояния пропорц. статистич. весу . В статистич. равновесии энтропия максимальна при заданных энергии и числе ч-ц, что соответствует наиб. вероятному распределению (Больцмана распределению) . Для получения распределения Больцмана в явном виде нужно найти абс. экстремум ф-ции iNiln(Gi/Ni)-iξiNi-iNi ( и  — множители, определяемые из условий постоянства числа ч-ц газа N=iNi и его полной энергии ξ=iξiNi) и воспользоваться ф-лой Стирлинга InNi~Ni/(lnNi-1) при Ni>>1. Для ср. чисел заполнения i-того состояния с энергией ξi распределение Больцмана имеет вид:

ni=Ni/Gi=ехр[(-ξi)/kT], (4) где  — хим. потенциал, определяемый из условия iNi=N.

Б. с. применима к разреженным мол. газам и к плазме в газовом разряде. Для плотных газов, когда существенно вз-ствие между ч-цами, следует пользоваться распределением Гиббса.

• Ландау Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М., Статистическая физика, 2 изд., М., 1964 (Теоретическая физика, т.5); X у а н г К., Статистическая механика, пер. с англ., М., 1966; Р е й ф Ф., Статистическая физика, пер. с англ., М., 1972 (Берклеевский курс физики, т. 5).

Д. Н. Зубарев.